已知橢圓 (a>b>0)的一個頂點為A(0，1)，且它的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．

　 (I)求橢圓的方程：

(Ⅱ)過A點且斜率為k的直線與橢圓相交于A、B兩點，點M在橢圓上，并且滿足OM=OA+OB，求k的值．

解：(I)雙曲線的離心率為．∴橢圓的離心率為

∵橢圓（a>b>0）的一個頂點為A（0，1），∴b=1．

∴   ∴   ∴橢圓的方程為

(Ⅱ)過A點且斜率為k的直線的方程是y=kx+1，代入到橢圓方程中，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kx=0．   

    顯然這個方程有兩解．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，則可解得

    ，    ∴,  

    即A(0,1),  B(,)         

   ∴ (,)

    ∴,    

將E點的坐標代入到橢圓方程中，并去分母可得

          

展開整理得       ∴  

方法二：

    (Ⅱ)過A點且斜率為k的直線的方程是y=kx+1，代入到橢圓方程中，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kx=0．①   

顯然這個方程有兩解．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，則

∵OM=OA+OB    ∴(x，y)=  (x1，y1)+  (x2，y2)

∴  ,  

∵點M在C上，∴

∴

∴

∴,  即．②

又由①式知： ， ,  代入②式得,   

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

. 19(本小題滿分14分)

       已知橢圓 (a>b>0)與直線

       x+y－1 = 0相交于A、B兩點，且OA⊥OB

       (O為坐標原點)．

(I)   求 + 的值；

(II)  若橢圓長軸長的取值范圍是［,］，

       求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓 (a>b>0)，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0，0)．證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省協(xié)作體高三5月第二次聯(lián)考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

4

1

2

4

2

（1）求的標準方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i) 求的最值.

(ii) 求四邊形ABCD的面積；

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省高三5月高考模擬理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

4

1

2

4

2

（1）求的標準方程；

（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i) 求的最值.

(ii) 求四邊形ABCD的面積；

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省綿陽市高三第二次月考文科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為Fl vF2  ,離心率,A為右頂點,K為右準線與x軸的交點，且.

(1) 求橢圓的標準方程

(2) 設(shè)橢圓的上頂點為B,問是否存在直線l,使直線l交橢圓于C,D兩點，且橢圓的左焦點F1恰為的垂心?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

 

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