Question

5．如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，將△ABC沿BD折到△A′BD的位置，使平面A′BD⊥平面CBD．
（Ⅰ）求證：CD⊥A′B；
（Ⅱ）試在線段A′C上確定一點P，使得三棱錐P-BDC的體積為$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，則AE∥DF，推導出CD⊥BD，從而CD⊥平面A′BD，由此能證明CD⊥A′B．
（Ⅱ）求出${V}_{{A}^{'}-BCD}$=$\frac{1}{3}•{S}_{△BCD}•{A}^{'}O$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，設$\overrightarrow{{A}^{'}P}$=$λ\overrightarrow{{A}^{'}C}$，則${V}_{P-BCD}=λ{V}_{{A}^{'}-BCD}$，由此能求出點P在線段A′C靠近A′的三等分點處．

解答 證明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，過點A作AE⊥BC于E，
過點D作DF⊥BC于F，則AE∥DF，∴EF=AD=2，
又∵在等腰梯形ABCD中，Rt△ABE≌Rt△DCF，且BC=4，
∴BE=FC=1，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=${4}^{2}+{2}^{2}-2×4×2×\frac{1}{2}$=12，
∴BD²+CD²=BC²，∴CD⊥BD，
又∵平面A′BD⊥平面CBD，
面A′BD∩面CBD=BD，
∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知${V}_{{A}^{'}-BCD}$=$\frac{1}{3}•{S}_{△BCD}•{A}^{'}O$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×1$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
設$\overrightarrow{{A}^{'}P}$=$λ\overrightarrow{{A}^{'}C}$，則${V}_{P-BCD}=λ{V}_{{A}^{'}-BCD}$，即：$\frac{4\sqrt{3}}{9}=λ•\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得$λ=\frac{2}{3}$，
∴點P在線段A′C靠近A′的三等分點處．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點的位置的確定，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．