Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2﹣2x﹣3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有兩個實數(shù)根x1 ， x2 ， 且滿足：﹣1＜x1＜2＜x2 ， 求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

則f（x+1）+f（x）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2﹣2x﹣3

所以 ，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣1，

從而f（x）=x2﹣2x﹣1

（2）解：令g（x）=f（x）﹣a=x2﹣2x﹣1﹣a=0

由于﹣1＜x1＜2＜x2，所以

解得﹣1＜a＜2

【解析】（1）設(shè)出二次函數(shù)，利用函數(shù)的解析式，化簡表達式，通過比較系數(shù)，求出函數(shù)的解析式．（2）利用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出不等式，求解a的范圍即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減)．