拋物線方程為y2=p(x+1)(p>0),直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.
(1)求證:直線與拋物線總有兩個交點;
(2)設(shè)直線與拋物線的交點為Q、R,OQ⊥OR,求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若m變化,使得原點O到直線QR的距離不大于,求p的值的范圍.
【答案】分析:(1)由拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準(zhǔn)線方程x=-1-,由直線x+y=m與x軸的交點為(m,0)在準(zhǔn)線右邊可得,,要證直線與拋物線總有兩個交點,只要證明由所得方程x2-(2m+p)x+(m2-p)=0的判別式△>0即可
(2)設(shè)Q、R兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的兩根,由方程的根與系數(shù)的關(guān)系及由OQ⊥OR,可得x1x2+y1y2=0可求
(3)解法一:由題意可得可求m的范圍,結(jié)合(2)中m>-2且m≠0可求m的范圍,而f(m)==(m+2)+-4,利用函數(shù)單調(diào)性的定義可求p的范圍
解法二:由解法一可知,m的范圍,由(2)知p=f(m)=,利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求p的范圍
解答:解:(1)∵拋物線y2=p(x+1)的準(zhǔn)線方程是x=-1-
∵直線x+y=m與x軸的交點為(m,0)在準(zhǔn)線右邊

∴m>-1-,即4m+p+4>0.

得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0.
而判別式△=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4).
又p>0及4m+p+4>0,可知△>0.
因此,直線與拋物線總有兩個交點;                   …(4分)
(2)設(shè)Q、R兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),
由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的兩根,
∴x1+x2=2m+p,x1•x2=m2-p.由OQ⊥OR,得kOQ•kOR=-1,
即有x1x2+y1y2=0.又Q、R為直線x+y=m上的點,
因而y1=-x1+m,y2=-x2+m.
于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0,
∴p=f(m)=,由得m>-2,m≠0;…(9分)
(3)解法一:由于原點O到直線x+y=m的距離不大于,于是,
∴|m|≤1.由(2),知m>-2且m≠0
故m∈[-1,0)∪(0,1].
由(2),知f(m)==(m+2)+-4qqqq1q
當(dāng)m∈[-1,0)時,任取m1、m2,0>m1>m2≥-1,則
f(m1)-f(m2)=(m1-m2)+(
=(m1-m2)[1-].
由0>m1>m2≥-1,知0<(m1+2)(m2+2)<4,1-<0.
又由m1-m2>0知f(m1)<f(m2)因而f(m)為減函數(shù).
可見,當(dāng)m∈[-1,0)時,p∈(0,1].
同樣可證,當(dāng)m∈(0,1]時,f(m)為增函數(shù),從而p∈(0,].
解法二:由解法一知,m∈[-1,0)∪(0,1].由(2)知
p=f(m)=
設(shè)t=,g(t)=t+2t2,則t∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又g(t)=2t2+t=2(t+2-
∴當(dāng)t∈(-∞,-1]時,g(t)為減函數(shù),g(t)∈[1,+∞).
當(dāng)t∈[1,+∞)時,g(t)為增函數(shù),g(t)∈[3,+∞).
因此,當(dāng)m∈[-1,0]時,t∈(-∞,-1],p=∈(0,1];
當(dāng)m∈(0,1]時,t∈[1,+∞),p∈(0,].
點評:本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用,直線與拋物線的相交關(guān)系與系數(shù)的應(yīng)用,及利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的取值范圍,屬于方程與函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線方程為y2=p(x+1)(p>0),直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.
(1)求證:直線與拋物線總有兩個交點;
(2)設(shè)直線與拋物線的交點為Q、R,OQ⊥OR,求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若m變化,使得原點O到直線QR的距離不大于
2
2
,求p的值的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線方程為y2=p(x+1)(p>0),直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.
(1)求證:直線與拋物線總有兩個交點;
(2)設(shè)直線與拋物線的交點為Q、R,OQ⊥OR,
求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為
2
2

求此直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

拋物線方程為y2=p(x+1)(p>0),直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.
(1)求證:直線與拋物線總有兩個交點;
(2)設(shè)直線與拋物線的交點為Q、R,OQ⊥OR,求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若m變化,使得原點O到直線QR的距離不大于數(shù)學(xué)公式,求p的值的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007-2008學(xué)年福建省莆田四中高二(上)模塊數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

拋物線方程為y2=p(x+1)(p>0),直線x+y=m與x軸的交點在拋物線的準(zhǔn)線的右邊.
(1)求證:直線與拋物線總有兩個交點;
(2)設(shè)直線與拋物線的交點為Q、R,OQ⊥OR,
求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若拋物線焦點F到直線x+y=m的距離為,
求此直線的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案