【答案】
分析:(1)由拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準(zhǔn)線方程x=-1-
,由直線x+y=m與x軸的交點為(m,0)在準(zhǔn)線右邊可得,
,要證直線與拋物線總有兩個交點,只要證明由
所得方程x
2-(2m+p)x+(m
2-p)=0的判別式△>0即可
(2)設(shè)Q、R兩點的坐標(biāo)分別為(x
1,y
1)、(x
2,y
2),由(1)知,x
1、x
2是方程x
2-(2m+p)x+m
2-p=0的兩根,由方程的根與系數(shù)的關(guān)系及由OQ⊥OR,可得x
1x
2+y
1y
2=0可求
(3)解法一:由題意可得
可求m的范圍,結(jié)合(2)中m>-2且m≠0可求m的范圍,而f(m)=
=(m+2)+
-4,利用函數(shù)單調(diào)性的定義可求p的范圍
解法二:由解法一可知,m的范圍,由(2)知p=f(m)=
,利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求p的范圍
解答:解:(1)∵拋物線y
2=p(x+1)的準(zhǔn)線方程是x=-1-
∵直線x+y=m與x軸的交點為(m,0)在準(zhǔn)線右邊
∴
∴m>-1-
,即4m+p+4>0.
由
得x
2-(2m+p)x+(m
2-p)=0.
而判別式△=(2m+p)
2-4(m
2-p)=p(4m+p+4).
又p>0及4m+p+4>0,可知△>0.
因此,直線與拋物線總有兩個交點; …(4分)
(2)設(shè)Q、R兩點的坐標(biāo)分別為(x
1,y
1)、(x
2,y
2),
由(1)知,x
1、x
2是方程x
2-(2m+p)x+m
2-p=0的兩根,
∴x
1+x
2=2m+p,x
1•x
2=m
2-p.由OQ⊥OR,得k
OQ•k
OR=-1,
即有x
1x
2+y
1y
2=0.又Q、R為直線x+y=m上的點,
因而y
1=-x
1+m,y
2=-x
2+m.
于是x
1x
2+y
1y
2=2x
1x
2-m(x
1+x
2)+m
2=2(m
2-p)-m(2m+p)+m
2=0,
∴p=f(m)=
,由
得m>-2,m≠0;…(9分)
(3)解法一:由于原點O到直線x+y=m的距離不大于
,于是
,
∴|m|≤1.由(2),知m>-2且m≠0
故m∈[-1,0)∪(0,1].
由(2),知f(m)=
=(m+2)+
-4qqqq1q
當(dāng)m∈[-1,0)時,任取m
1、m
2,0>m
1>m
2≥-1,則
f(m
1)-f(m
2)=(m
1-m
2)+(
)
=(m
1-m
2)[1-
].
由0>m
1>m
2≥-1,知0<(m
1+2)(m
2+2)<4,1-
<0.
又由m
1-m
2>0知f(m
1)<f(m
2)因而f(m)為減函數(shù).
可見,當(dāng)m∈[-1,0)時,p∈(0,1].
同樣可證,當(dāng)m∈(0,1]時,f(m)為增函數(shù),從而p∈(0,
].
解法二:由解法一知,m∈[-1,0)∪(0,1].由(2)知
p=f(m)=
.
設(shè)t=
,g(t)=t+2t
2,則t∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又g(t)=2t
2+t=2(t+
)
2-
.
∴當(dāng)t∈(-∞,-1]時,g(t)為減函數(shù),g(t)∈[1,+∞).
當(dāng)t∈[1,+∞)時,g(t)為增函數(shù),g(t)∈[3,+∞).
因此,當(dāng)m∈[-1,0]時,t∈(-∞,-1],p=
∈(0,1];
當(dāng)m∈(0,1]時,t∈[1,+∞),p∈(0,
].
點評:本題主要考查了拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用,直線與拋物線的相交關(guān)系與系數(shù)的應(yīng)用,及利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的取值范圍,屬于方程與函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.