【題目】為了更好地貫徹黨的“五育并舉”的教育方針，某市要對(duì)全市中小學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”情況進(jìn)行了解，決定通過(guò)隨機(jī)抽樣選擇幾個(gè)樣本校對(duì)學(xué)生進(jìn)行體能達(dá)標(biāo)測(cè)試，并規(guī)定測(cè)試成績(jī)低于60分為不合格，否則為合格，若樣本校學(xué)生不合格人數(shù)不超過(guò)其總?cè)藬?shù)的5%，則該樣本校體能達(dá)標(biāo)為合格.已知某樣本校共有1000名學(xué)生，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測(cè)試，首先將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩組，其中甲乙兩組學(xué)生人數(shù)的比為3:2，測(cè)試后，兩組各自的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?/span>70，方差為16，乙組的平均成績(jī)?yōu)?/span>80，方差為36.

（1）估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績(jī)；

（2）求該樣本校40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；

（3）假設(shè)該樣本校體能達(dá)標(biāo)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值估計(jì)該樣本校學(xué)生體能達(dá)標(biāo)測(cè)試是否合格？

（注：1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)；2若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布，則，，）

【答案】（1）74；（2）.（3）可估計(jì)該樣本校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試合格.

【解析】

（1）由甲乙兩組學(xué)生人數(shù)可求得總均分；

（2）設(shè)第一組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，第二組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，由已知方差求得和，結(jié)合（1）可得總方差；

（3）由已知數(shù)據(jù)知，然后求出不合格的概率得不合格人數(shù)，從而得結(jié)論．

解：（1）由題知，甲、乙兩組學(xué)生數(shù)分別為24和16，

則這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分

故可估計(jì)該樣本校學(xué)生體能測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?/span>74，.

（2）由變形得

設(shè)第一組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，

第二組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，

則第一組的方差為

，

解得.

第二組的方差為

解得.

這40名學(xué)生的方差為

，

所以.

綜上，標(biāo)準(zhǔn)差.

（3）由，，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值

由，

得，

即

所以.

從而，在全校1000名學(xué)生中，“不合格”的有（人）

而，

故可估計(jì)該樣本校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”測(cè)試合格.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動(dòng)了快遞業(yè)的迅速增長(zhǎng)，快遞公司攬收價(jià)格一般是采用“首重+續(xù)重”的計(jì)價(jià)方式.首重是指最低的計(jì)費(fèi)重量，續(xù)重是指超過(guò)首重部分的計(jì)費(fèi)重量，不滿一公斤按一公斤計(jì)費(fèi).某快遞網(wǎng)點(diǎn)將快件的攬收價(jià)格定為首重（不超過(guò)一公斤）8元，續(xù)重2元/公斤（例如，若一個(gè)快件的重量是0.6公斤，按8元計(jì)費(fèi)；若一個(gè)快件的重量是1.4公斤，按元元元計(jì)費(fèi)）.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，得到該網(wǎng)點(diǎn)攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示

（1）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，將頻率視作概率，求該網(wǎng)點(diǎn)攬收快件的平均價(jià)格；

（2）為了獲得更大的利潤(rùn)，該網(wǎng)點(diǎn)對(duì)“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)（單位：百件）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

每天攬收快遞件數(shù)（百件）

2

3

4

5

8

每件快遞的平均成本（元）

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程：

方程甲：，方程乙：.

①為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應(yīng)回歸方程，將以下表格填寫完整（結(jié)果保留一位小數(shù)），分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和，，并依此判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好（備注：稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，殘差平方和；

每天攬收快遞件數(shù)/百件

2

3

4

5

8

每天快遞的平均成本/元

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

模型甲

預(yù)報(bào)值

5.2

5.0

4.8

殘差

0.2

0.4

模型乙

預(yù)報(bào)值

5.5

4.8

4.5

預(yù)報(bào)值

0

0.1

②預(yù)計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)今年6月25日（端午節(jié)）一天可以攬收1000件快遞，試根據(jù)①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)當(dāng)天的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=（平均價(jià)格-平均成本）×總件數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).

（1）若，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

（2）點(diǎn)M為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點(diǎn)；點(diǎn)N為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作與y軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)P.設(shè)△的面積，△的面積為.

（i）若過(guò)定點(diǎn)，求使取最小值時(shí)，直線的方程；

（ii）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：AE⊥平面PBC；

（2）試確定點(diǎn)F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的圾坐標(biāo)方，且直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).

（1）求曲線C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程；

（2）若，點(diǎn)滿足，求此時(shí)r的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了解高新產(chǎn)業(yè)園引進(jìn)的甲公司前期的經(jīng)營(yíng)狀況，市場(chǎng)研究人員對(duì)該公司2019年下半年連續(xù)六個(gè)月的利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列表如下：

月份

7月

8月

9月

10月

11月

12月

月份代碼

1

2

3

4

5

6

月利潤(rùn)（萬(wàn)元）

110

130

160

150

200

210

（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明月利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與月份代碼x之間的關(guān)系的強(qiáng)弱（結(jié)果保留兩位小數(shù)），求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司2020年1月份的利潤(rùn)；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購(gòu)一批新型材料，己知生產(chǎn)新型材料的乙企業(yè)對(duì)A、B兩種型號(hào)各100件新型材料進(jìn)行模擬測(cè)試，統(tǒng)計(jì)兩種新型材料使用壽命頻數(shù)如下表所示：

使用壽命

材料類型

1個(gè)月

2個(gè)月

3個(gè)月

4個(gè)月

總計(jì)

A

15

40

35

10

100

B

10

30

40

20

100

現(xiàn)有采購(gòu)成本分別為10萬(wàn)元/件和12萬(wàn)元/件的A、B兩種型號(hào)的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個(gè)月，不同類型的新型材料損壞的時(shí)間各不相同，經(jīng)甲公司測(cè)算，平均每件新型材料每月可以帶來(lái)5萬(wàn)元收入，不考慮除采購(gòu)成本之外的其他成本，假設(shè)每件新型材料的使用壽命都是整數(shù)月，且以頻率估計(jì)每件新型材料使用壽命的概率，如果你是甲公司的負(fù)責(zé)人，以每件新型材料產(chǎn)生利潤(rùn)的期望值為決策依據(jù)，你會(huì)選擇采購(gòu)哪款新型材料？

參考公式：相關(guān)系數(shù)；

回歸直線方程為，其中，.

參考數(shù)據(jù)：，，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為不等的正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，我們稱滿足條件“對(duì)任意的，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列．

（1）試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，，并給出證明；

（2）已知數(shù)列為“好”數(shù)列．

① 若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

② 若，且對(duì)任意給定正整數(shù)（），有成等比數(shù)列，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經(jīng)過(guò)橢圓的左，右焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得的面積與（為原點(diǎn)）的面積相等？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其圖象如圖所示．函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時(shí)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：

①；

②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)；

③不等式的解集為．

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．

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同步練習(xí)冊(cè)答案