Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1．
（1）若對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求實數(shù) a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-1，1]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x=1為對稱軸，求得f（x）的對稱軸方程，即可得到a；
（2）求得f（x）的遞增區(qū)間，[1，+∞）為它的子區(qū)間，可得a的范圍；
（3）由函數(shù)圖象開口向上，對稱軸x=a，可得最大值只能在端點(diǎn)處取得，討論a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由對任意的實數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，
知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1的對稱軸為x=a，即a=1；
（2）函數(shù)f（x）=x²-2ax+1的圖象的對稱軸為直線x=a，
由f（x）在[a，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，得，a≤1；                                              
（3）函數(shù)圖象開口向上，對稱軸x=a，可得最大值只能在端點(diǎn)處取得．
當(dāng)a＜0時，x=1時，函數(shù)取得最大值為：2-2a；
當(dāng)a＞0時，x=-1時，函數(shù)取得最大值為：2+2a；
當(dāng)a=0時，x=1或-1時，函數(shù)取得最大值為：2．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，主要是單調(diào)性和最值，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．