Question

5．設f（x）=e^x-2ax-1．
（Ⅰ）討論函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當x≥0時，e^x≥ax²+x+1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過a與0的大小討論函數的單調性得到函數的極值．
（Ⅱ）方法1設g（x）=e^x-ax²-x-1，則g'（x）=e^x-2ax-1=f（x）．通過$a≤\frac{1}{2}$，$a＞\frac{1}{2}$時，通過函數的單調性，函數的最值，求解a的取值范圍．
（Ⅱ）方法2，由（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，推出e^x≥1+x．（Ⅱ）設g（x）=e^x-ax²-x-1，利用函數的單調性求解a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-2a，
若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在g（x）上單調遞增，沒有極值．   …（2分）
若a＞0，令f'（x）=0，x=ln2a，列表

x	（-∞，ln2a）	ln2a	（ln2a，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	f（2a）	↗

所以當x=ln2a時，f（x）有極小值f（2a）=2a-2aln2a-1，沒有極大值．
…（6分）
（Ⅱ）方法1
設g（x）=e^x-ax²-x-1，則g'（x）=e^x-2ax-1=f（x）．
從而當2a≤1，即$a≤\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0（x≥0），g'（x）≥g'（0）=0，
g（x）在[0，+∞）單調遞增，于是當x≥0時，g（x）≥g（0）=0．
…（8分）
當$a＞\frac{1}{2}$時，若x∈（0，ln2a），則f'（x）＜0，g'（x）＜g'（0）=0，
g（x）在（0，ln2a）單調遞減，于是當x∈（0，ln2a）時，g（x）＜g（0）=0．
綜合得a的取值范圍為$（-∞，\frac{1}{2}]$．…（12分）
（Ⅱ）方法2
由（Ⅰ）當$a=\frac{1}{2}$時，f（x）≥f（2）=0，得e^x≥1+x．
（Ⅱ）設g（x）=e^x-ax²-x-1，則g'（x）=e^x-2ax-1≥x（1-2a）．
從而當2a≤1，即$a≤\frac{1}{2}$時，g'（x）≥0（x≥0），而g'（0）=0，于是當x≥0時，g（x）≥0．    …（8分）
由e^x＞1+x（x≠0）可得，e^-x＞1-x，即x＞1-e^-x（x≠0），
從而當$a＞\frac{1}{2}$時，g'（x）＜e^x-2a（1-e^-x）-1=e^x（e^x-1）（e^x-2a）．
故當x∈（0，ln2a）時，g'（x）＜0，而g（0）=0，
于是當x∈（0，ln2a）時，g（x）＜g（0）=0．
綜合得a的取值范圍為$（-∞，\frac{1}{2}]$． …（12分）

點評 本題考查函數導數的綜合應用，函數的極值以及函數的最值，考查轉化思想以及分類討論思想的應用，考查計算能力．