已知曲線f（x）=ax 2+2在x=1處的切線與2x-y+1=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求由曲線y=f（x）與y=3x，x=0，x=2所圍成的平面圖形的面積．
分析：（1）利用曲線在切點處的導數(shù)為斜率求曲線的切線斜率；利用直線平行它們的斜率相等列方程求解．
（2）因為所求區(qū)域均為曲邊梯形，所以使用定積分方可求解．
解答：解：（1）y'=2ax，
于是切線的斜率k=y'|x=1=2a，∵切線與直線2x-y+1=0平行
∴2a=2
∴a=1
故f （x ）的解析式f （x ）=x 2+2．
（2）聯(lián)立
y=x2+2
y=3x
，解得x1=1，x2=2
∴S=∫01（x2+2-3x）dx+∫12（3x-x2-2）dx=
[
1
3
X3+2X-
3
2
X2]
1
0
+
[
3
2
X2-
1
3
X3-2X]
2
1
=1
所圍成的平面圖形的面積1．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義：曲線在切點處的導數(shù)值是切線的斜率以及用定積分求面積，要注意明確被積函數(shù)和積分區(qū)間，屬于基本運算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=xn+1（n∈N*）與直線x=1交于點P，若設曲線y=f（x）在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則lgx1+lgx2+…+lgx9的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=xcosx+1在點（
π
2
，1）處的切線與直線ax-y+1=0垂直，則實數(shù)a=
2
π
2
π
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=xcosx在點（
π
2
，0）處的切線與直線x-ay+1=0互相垂直，則實數(shù)a=
π
2
π
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•寧德模擬）已知曲線f（x）=ax+blnx-1在點（1，f（1））處的切線為直線y=0．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設函數(shù)g(x)=
x2
2
-mx+mf(x)，其中m為常數(shù)．
（i）求g（x）的單調遞增區(qū)間；
（ii）求證：當1＜m＜3，x∈（1，e）（其中e=2.71828…）時，總有-
3
2
(1+ln3)＜g(x)＜
e2
2
-2成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=
1
3
x3-
a
2
x2+bx+c（a≥0）在x=0處的切線方程y=1．
（1）求實數(shù)b，c的值；
（2）若過點（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同的切線，求a的取值范圍．

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