Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為x-$\sqrt{2}$y=0，P是C上一點(diǎn)，且|OP|的最小值等于2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線以及|OP|的最小值等于2確定a=2和b，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵在雙曲線上，P是C上一點(diǎn)，且|OP|的最小值等于2，
∴此時(shí)最小值為a=2，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x=±$\frac{2}$x，
∵雙曲線的一條漸近線的方程為x-$\sqrt{2}$y=0，
∴y=$\frac{1}{\sqrt{2}}x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
則b=$\sqrt{2}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)條件建立方程求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．