【題目】已知函數(shù)f(x)=(x.

(Ⅰ)當(dāng)x∈[﹣1,1]時(shí),求函數(shù)y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)m>n>3,使得g(x)的定義域?yàn)閇n,m],值域?yàn)閇n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)g(a)=(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)在的情況下,求出的值域,對所給函數(shù)進(jìn)行配方化簡,可利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)對進(jìn)行分類討論,可得函數(shù)的最小值;(Ⅱ)假設(shè)存在,利用(Ⅰ)中分段函數(shù)在的單調(diào)性,結(jié)合區(qū)間與值域,可得關(guān)于的等式,解得存在情況.

試題解析:(Ⅰ)∵x∈[﹣1,1],∴f(x)=(x∈[,3],

y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[(x]2﹣2a(x+3

=[(x﹣a]2+3﹣a2. .

由一元二次函數(shù)的性質(zhì)分三種情況:

若a<,則當(dāng)時(shí),ymin=g(a)=;

≤a≤3,則當(dāng)時(shí),ymin=g(a)=3﹣a2;

若a>3,則當(dāng)時(shí),ymin=g(a)=12﹣6a.

∴g(a)=

(Ⅱ)假設(shè)存在滿足題意的m、n,

∵m>n>3,且g(x)=12﹣6x在區(qū)間(3,+∞)內(nèi)是減函數(shù),

又g(x)的定義域?yàn)閇n,m],值域?yàn)閇n2,m2],

兩式相減,得6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n),

∵m>n>3,∴m+n=6,但這與“m>n>3”矛盾,

∴滿足題意的m、n不存在.

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