Question

20．某工廠生產某種黑色水筆，每百支水筆的成本為30元，并且每百支水筆的加工費為m元（其中m為常數，且3≤m≤6）．設該工廠黑色水筆的出廠價為x元/百支（35≤x≤40），根據市場調查，日銷售量與e^x成反比例，當每百支水筆的出廠價為40元時，日銷售量為10萬支．
（1）當每百支水筆的日售價為多少元時，該工廠的利潤y最大，并求y的最大值．
（2）已知工廠日利潤達到1000元才能保證工廠的盈利．若該工廠在出廠價規(guī)定的范圍內，總能盈利，則每百支水筆的加工費m最多為多少元？（精確到0.1元）

Answer 1

分析 （1）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數的底數）成反比例”可設日銷量，根據日利潤y=每件的利潤×件數，建立函數關系式，注意實際問題自變量的范圍．對函數進行求導，求出極值點，利用3≤m≤6，可得函數在35≤x≤40范圍內的單調性，從而求出函數的最值；
（2）由題意35≤x≤40，$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）≥1000恒成立，x=35時，e⁵（5-m）≥1，m≤5-e^-5，即可得出結論．

解答 解：（1）設日銷量為s，則s=$\frac{k}{{e}^{x}}$
∵x=40，s=1000，∴1000=$\frac{k}{{e}^{40}}$，∴k=1000e⁴⁰，∴s=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$
∴y=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）（35≤x≤40）；
y′=$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（31+m-x），令y′=0，可得x=31+m
3≤m≤6，34≤31+m≤37
當35≤x≤m+31時，y′＞0
當m+31≤x≤40時，y′＜0
故x=31+m時，y_max=1000e^9-m．
（2）由題意35≤x≤40，$\frac{1000{e}^{40}}{{e}^{x}}$（x-30-m）≥1000恒成立，
∴x=35時，e⁵（5-m）≥1，∴m≤5-e^-5，
∴每百支水筆的加工費m最多為5.0元

點評 本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，解題的關鍵在于建立數學模型和目標函數，屬于中檔題．