Question

已知圓M：(x+

3

2

x)2+y2=

9r2

4

，點(diǎn)N（3r，0），其中r＞0，設(shè)P是圓上任一點(diǎn)，線段PN上的點(diǎn)Q滿足

PQ

QN

=

1

2

（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)曲線與x軸兩交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)R是該曲線上一動(dòng)點(diǎn)，曲線在R點(diǎn)處的切線與在A，B兩點(diǎn)處的切線分別交于C，D兩點(diǎn)，求AD與BC交點(diǎn)S的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3(x-r)

2

，

3

2

y)，代入圓M的方程化簡就能得到所求點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀≠0），則x₀²+y₀²=r²．由題設(shè)條件可求得C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為C(-r，

r2+x0r

y0

) ，D(r，

r2-x0r

y0

)，
再由直線BC、AD的方程分別為y=

r2+x0r

-2r2y02

(x-r)，y=

r2-x0r

2ry0

(x+r)，兩式相乘，得y2=

r2(r2-x02)

-4r2y02

(x2-r2)，化簡就能得到所求點(diǎn)S的軌跡方程．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），∵

PQ

QN

=

1

2

，N（3r，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3(x-r)

2

，

3

2

y)，代入圓M的方程化簡得x²+y²=r²即為所求點(diǎn)Q的軌跡方程．
（2）設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀≠0），則x₀²+y₀²=r²．
圓在R點(diǎn)處的切線方程為：x₀x+y₀y=r²．
又切線AC、BD的方程分別為x=-r，x=r，
解方程組可得C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為C(-r，

r2+x0r

y0

) ，D(r，

r2-x0r

y0

)，
∴直線BC、AD的方程分別為y=

r2+x0r

-2r2y02

(x-r)，y=

r2-x0r

2ry0

(x+r)，
兩式相乘，得y2=

r2(r2-x02)

-4r2y02

(x2-r2)，化簡得x²+4y²=r²（y≠0）．
∴所求點(diǎn)S的軌跡方程為x²+4y²=r²（y≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，耐心尋找數(shù)量間的相互關(guān)系，注意公式的靈活運(yùn)用．