Question

若對(duì)任意x∈A，y∈B，（A、B?R）有唯一確定的f（x，y）與之對(duì)應(yīng)，稱f（x，y）為關(guān)于x、y的二元函數(shù)．現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)f（x，y）為關(guān)于實(shí)數(shù)x、y的廣義“距離”：
（1）非負(fù)性：f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí)取等號(hào)；
（2）對(duì)稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立．
今給出四個(gè)二元函數(shù)：①f（x，y）=x²+y²；②f（x，y）=（x-y）²；③f（x，y）=

x-y

；④f（x，y）=sin（x-y）．
能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是（　　）

• A、①
• B、②
• C、③
• D、④

Answer 1

分析：利用新定義的三個(gè)條件，若有一個(gè)不滿足，即不是“關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)”．分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答：解：①對(duì)于函數(shù)f（x，y）=x²+y²：滿足非負(fù)性：f（x，y）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí)取等號(hào)；滿足對(duì)稱性：f（x，y）=f（y，x）；
∵f（x，z）+f（z，y）=x²+z²+z²+y²≥x²+y²=f（x，y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立，因此滿足三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）．
可知f（x，y）能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)．∴①成立．
②若f（x，y）=（x-y）²≥0，但是不僅x=y=0時(shí)取等號(hào)，x=y≠0也成立，因此不滿足新定義：關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)；∴②不成立．
③若f（x，y）=

x-y

；則不滿足f（x，y）=f（y，x），∴③不成立．
④若f（x，y）=sin（x-y）．則不滿足f（x，y）=f（y，x），∴④不成立，
綜上可知：只有①滿足新定義，能夠成為關(guān)于的x、y的廣義“距離”的函數(shù)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．