(2008•佛山一模)觀察下列三角形數(shù)表
1-----------------------------第一行
2    2------------------------第二行
3    4    3-------------------第三行
4    7    7   4---------------第四行
5    11  14  11   5-----------第五行
  …
假設(shè)第n行的第二個數(shù)為an(n≥2,n∈N*),
(Ⅰ)依次寫出第六行的所有6個數(shù)字;
(Ⅱ)歸納出an+1與an的關(guān)系式并求出an的通項公式;
(Ⅲ)設(shè)anbn=1,求證:b2+b3+…+bn<2.
分析:(I)根據(jù)三角形數(shù)表,兩側(cè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列,中間的數(shù)從第三行起,每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和的規(guī)律寫出來.
(II)依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起,每一個數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個數(shù)等于上一行第一個數(shù)與第二個數(shù)的和,即有an+1=an+n(n≥2),再由累加法求解.
(III)由anbn=1,解得數(shù)列的通項,利用裂項法求和,即可證得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:第六行的所有6個數(shù)字分別是6,16,25,25,16,6;--------------(2分)
(Ⅱ)解:依題意an+1=an+n(n≥2),a2=2-------------------------------(5分)
an=a2+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)------------------------(7分)
=2+2+3+…+(n-1)=2+
(n-2)(n+1)
2
,
所以an=
1
2
n2-
1
2
n+1   (n≥2)
;-------------------------------------(9分)
(Ⅲ)證明:因為anbn=1,所以bn=
2
n2-n+2
2
n2-n
=2(
1
n-1
-
1
n
)
-------------(11分)
b2+b3+b4+…+bn<2[(
1
1
-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)]
=2(1-
1
n
)<2
---(14分)
點評:本題通過三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列,考查了數(shù)列的通項及求和的方法,考查裂項法的運用,屬于中檔題.
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2

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π
3
時,f(x)取得極小值
π
3
-
3

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(2)設(shè)直線l:y=g(x),曲線S:y=f(x).若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件:
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點;
②對任意x∈R都有g(shù)(x)≥f(x).則稱直線l為曲線S的“上夾線”.試證明:直線l:y=x+2為曲線S:y=ax+bsinx“上夾線”.

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(2008•佛山一模)已知雙曲線
x2
4
-y2=1
,則其漸近線方程為
y=±
1
2
x
y=±
1
2
x
,離心率為
5
2
5
2

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