Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n=

1

．

Answer 1

分析：由a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），知a2=

1

2

(1+

1

1

)=1，a3= 

1

2

(1+ 

1

1

)=1，猜想a_n=1．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：∵a₁=1，a_n=

1

2

（a_n-1+

1

an-1

）（n≥2），
∴a2=

1

2

(1+

1

1

)=1，
a3= 

1

2

(1+ 

1

1

)=1，
猜想a_n=1．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，a_k=1成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

1

2

(ak+

1

ak

)=

1

2

(1+

1

1

)=1，也成立．
由①②，知a_n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推公式和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．