Question

7．已知命題p：“方程$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦點在x軸上的橢圓”，命題q：“方程$\frac{{x}^{2}}{2-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示雙曲線”．
若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p真：可得$\left\{\begin{array}{l}{9-k＞k-1}\\{k-1＞0}\end{array}\right.$，解得k范圍．命題q真：可得（2-k）k＜0，解得k．若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，可得p，q必然一真一假．

解答 解：命題p：“方程$\frac{{x}^{2}}{9-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示焦點在x軸上的橢圓”，則$\left\{\begin{array}{l}{9-k＞k-1}\\{k-1＞0}\end{array}\right.$，解得5＞k＞1．
命題q：“方程$\frac{{x}^{2}}{2-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示雙曲線”，（2-k）k＜0，解得k＞2或k＜0．
若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，可得p，q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜k＜5}\\{0≤k≤2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{k≥5或k≤1}\\{k＞2或k＜0}\end{array}\right.$，
解得：1＜k≤2或k≥5或k＜0．
實數(shù)k的取值范圍是1＜k≤2或k≥5或k＜0．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合命題真假的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．