Question

16．已知函數(shù)f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域，并求f（x）取得最大值時x的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期為$\frac{2π}{ω}$，得出結(jié)論．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域，并求f（x）取得最大值時x的值．

解答 解（1）函數(shù)f（x））=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$ 的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，知-$\frac{π}{3}$≤2x≤π，故$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，故$-1≤2sin（2x+\frac{π}{6}）≤2$，
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域[-1，2]．
當 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即 x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值為2．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．