Question

【題目】記U={1，2，…，100}，對數列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=，定義ST=0；若T={t1 ， t2 ， …，tk}，定義ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}時，ST=a1+a3+a66 ． 現設{an}（n∈N*）是公比為3的等比數列，且當T={2，4}時，ST=30．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）對任意正整數k（1≤k≤100），若T{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；
（3）設CU，DU，SC≥SD ， 求證：SC+SC∩D≥2SD ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當T={2，4}時，ST=a2+a4=a2+9a2=30，

因此a2=3，從而a1= =1，

故an=3n﹣1

（2）解：ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1= ＜3k=ak+1
（3）解：設A=C（C∩D），B=D（C∩D），則A∩B=，

分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，則SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，

因此原命題的等價于證明SC≥2SB，

由條件SC≥SD，可得SA≥SB，

①、若B=，則SB=0，故SA≥2SB，

②、若B≠，由SA≥SB可得A≠，設A中最大元素為l，B中最大元素為m，

若m≥l+1，則其與SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，

因為A∩B=，所以l≠m，則l≥m+1，

SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1= ≤ = ，即SA≥2SB，

綜上所述，SA≥2SB，

故SC+SC∩D≥2SD

【解析】（1）根據題意，由ST的定義，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，計算可得a2=3，進而可得a1的值，由等比數列通項公式即可得答案；（2）根據題意，由ST的定義，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1 ， 由等比數列的前n項和公式計算可得證明；（3）設A=C（C∩D），B=D（C∩D），則A∩B=，進而分析可以將原命題轉化為證明SC≥2SB ， 分2種情況進行討論：①、若B=，②、若B≠，可以證明得到SA≥2SB ， 即可得證明．