Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2

3

，求拋物線方程．

Answer 1

分析：設(shè)拋物線方程y²=ax（a≠0），利用拋物線與圓x²+y²=4都關(guān)于x軸對(duì)稱，求出A，B的坐標(biāo)，利用|AB|=2

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，即可求拋物線方程．

解答：解：由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上．
故可設(shè)拋物線方程為：y²=ax（a≠0）．                                （2分）
設(shè)拋物線與圓x²+y²=4的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵拋物線y²=ax（a≠0）與圓x²+y²=4都關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴|y₁|=|y₂|且|y₁|+|y₂|=2

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，（6分）
∴|y₁|=|y₂|=

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，代入圓x²+y²=4得x²+3=4，
∴x=±1，（8分）
∴A（±1，

3

）或A（±1，-

3

），代入拋物線方程，得：（

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）²=±a，∴a=±3．（10分）
∴所求拋物線方程是：y²=3x或y²=-3x．（12分）
注：少一種情況扣（4分）．也可分類討論．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線與圓的位置關(guān)系，考查圖形的對(duì)稱性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．