Question

一動圓與圓外切，與圓內切．
（I）求動圓圓心M的軌跡L的方程．
（Ⅱ）設過圓心O₁的直線l：x=my+1與軌跡L相交于A、B兩點，請問△ABO₂（O₂為圓O₂的圓心）的內切圓N的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設動圓圓心為M（x，y），半徑為R．
由題意，動圓與圓外切，與圓內切∴|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4． （3分）
由橢圓定義知M在以O₁，O₂為焦點的橢圓上，且a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3．
∴動圓圓心M的軌跡L的方程為． （6分）
（2）如圖，設△ABO₂內切圓N的半徑為r，與直線l的切點為C，則三角形△ABO₂的面積=
當最大時，r也最大，△ABO₂內切圓的面積也最大，（7分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
則，（8分）
由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得，，（10分）
∴，令，則t≥1，且m²=t²-1，
有，令，則，
當t≥1時，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，，
即當t=1，m=0時，4r有最大值3，得，這時所求內切圓的面積為，
∴存在直線l：x=1，△ABO₂的內切圓M的面積最大值為．（14分）
分析：（1）利用動圓與圓外切，與圓內切，可得|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4，由橢圓定義知M在以O₁，O₂為焦點的橢圓上，從而可得動圓圓心M的軌跡L的方程；
（2）當最大時，r也最大，△ABO₂內切圓的面積也最大，表示出三角形的面積，利用換元法，結合導數(shù)，求得最值，即可求得結論．
點評：本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是正確運用橢圓的定義，確定最大時，r也最大，△ABO₂內切圓的面積也最大