Question

過拋物線y²=2x內(nèi)一點P（a，1）作弦AB，若P為AB中點，則直線AB的方程是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：法一：由題意可設(shè)直線AB的方程為x-a=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程可求y₁+y₂，結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得

y1+y2

2

=k=1，進(jìn)而可求直線方程；
法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y12=2x1 y22=2x2

，兩式相減及k_AB=

y1-y2

x1-x2

，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，可求直線AB的斜率，進(jìn)而可求直線AB的方程．

解答： 解法一：由題意可設(shè)直線AB的方程為x-a=k（y-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

x-a=k(y-1) y2=2x

，可得y²-2ky-2（a-k）=0，
則△=4（k²-2k+2a）＞0，y₁+y₂=2k，
由中點坐標(biāo)公式可得

y1+y2

2

=k=1，
則直線AB的方程為：x-y-a+1=0（a＞

1

2

）；
解法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點坐標(biāo)公式可得，y₁+y₂=2，
則

y12=2x1 y22=2x2

兩式相減可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2（x₁-x₂）
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2

y1+y2

=1，
∴直線AB的方程為y-1=x-a即x-y-a+1=0（a＞

1

2

）．
故答案為：x-y-a+1=0（a＞

1

2

）．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的靈活運用．注意法一中直線方程的設(shè)法的應(yīng)用．