4．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-a|（a∈R）
（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知a2+b2+c2=1（a，b，c∈R），求證a+b+c≤$\sqrt{3}$．

分析 （1）分類討論，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a≥0時，f（x）+a≥0恒成立，
當(dāng)a＜0時，要保證f（x）≥-a恒成立，即f（x）的最小值|a-2|≥-a，解得a≥-1，∴0＞a≥-1
綜上所述，a≥-1．（5分）
（2）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3
所以-$\sqrt{3}$≤a+b+c≤$\sqrt{3}$
所以：a+b+c≤$\sqrt{3}$．（10分）

點(diǎn)評 本小題主要考查不等式的相關(guān)知識，考查柯西不等式，具體涉及到絕對值不等式及不等式證明等內(nèi)容．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．（1）已知a、b是不相等正常數(shù)，正數(shù)x、y滿足，求證$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（{a+b}）}^2}}}{x+y}$，并指出等號成立的條件；
（2）求函數(shù)$f（x）=\frac{2}{x}+\frac{9}{1-2x}（{x∈（{0，\frac{1}{2}}）}）$的最小值，指出取最小值時x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+{cos^2}x-{log_2}|x|-\frac{1}{2}$的零點(diǎn)個數(shù)為（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知函數(shù)f（x）=ax2-2x+c，且f（x）＞0的解集是$\left\{{x|x≠\frac{1}{a}}\right\}$．
（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值時f（x）的解析式；
（2）在f（2）取得最小值時，若對于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x-2）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．傾斜角$\frac{π}{4}$的直線l過拋物線y2=4x焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線l的方程．
（2）求線段AB長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．若圓（x-1）2+（y-4）2=4的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1，則a=（　　）
A．-$\frac{4}{3}$B．-$\frac{3}{4}$C．$\sqrt{3}$D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．如果直線y=2x-1和y=kx互相垂直，則實(shí)數(shù)k的值為（　�。�
A．2B．$\frac{1}{2}$C．-2D．-$\frac{1}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．函數(shù)$y=2sin（{\frac{π}{3}-x}）cos（{\frac{π}{6}+x}）$（x∈R）的最小值為0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足$f（x）=\left\{\begin{array}{l}cosx\;，\;\;sinx≤cosx\\ sinx\;，\;\;sinx＞cosx\end{array}\right.$，給出以下結(jié)論：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）的最小值為-1；
③當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ，k∈Z時，f（x）取得最小值；
④當(dāng)且僅當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}＜x＜（{2k+1}）π$，k∈Z時，f（x）＞0；
⑤f（x）的圖象上相鄰兩個最低點(diǎn)的距離是2π，
其中正確的結(jié)論序號是①④⑤．

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