Question

5．設(shè)命題P：實數(shù)x滿足2x²-5ax-3a²＜0，其中a＞0，命題q：實數(shù)x滿足$\left\{{\begin{array}{l}{2sinx＞1}\\{{x^2}-x-2＜0}\end{array}}\right.$．
（1）若a=2，且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先分別求出命題P與命題q的集合簡化形式B與A；p∧q為真，則p，q均為真，實則是求B∩A．
（2）由?p是?q的充分不必要條件，則$\left\{{\begin{array}{l}{q⇒p}\\{p≠q}\end{array}}\right.$（q能推導(dǎo)出p，p推導(dǎo)不出q）．則說明B⊆A．

解答 解：（1）若a=2，則2x²-5ax-3a²＜0可化為x²-5x-6＜0，
解得：-1＜x＜6．
由$\left\{{\begin{array}{l}{2sinx＞1}\\{{x^2}-x-2＜0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{2kπ+\frac{π}{6}＜x＜2kπ+\frac{5π}{6}，k∈Z}\\{-1＜x＜2}\end{array}}\right.$，
∴不等式的解集為$\left\{{x\left|{\frac{π}{6}＜x＜2}\right.}\right\}$．
若p∧q為真，則p，q均為真，∴由$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜x＜6}\\{\frac{π}{6}＜x＜2}\end{array}}\right.$可得$\frac{π}{6}＜x＜2$．
（2）解2x²-5ax-3a²＜0得：$-\frac{1}{2}a＜x＜3a$．
若?p是?q的充分不必要條件，則$\left\{{\begin{array}{l}{q⇒p}\\{p≠q}\end{array}}\right.$．
設(shè)$A=\left\{{x\left|{-\frac{1}{2}a＜x＜3a}\right.}\right\}$，$B=\left\{{x\left|{\frac{π}{6}＜x＜2}\right.}\right\}$，則B⊆A．
∴3a≥2且$-\frac{1}{2}a≤\frac{π}{6}$，即$a≥\frac{2}{3}$，∴實數(shù)a的取值范圍是$[\frac{2}{3}，+∞）$．

點評 本題考查了命題與邏輯用語，以及命題與集合之間的關(guān)系表達(dá)，屬基礎(chǔ)題．