【題目】已知函數(shù),設(shè)為曲線在點(diǎn)處的切線,其中.

(Ⅰ)求直線的方程(用表示);

(Ⅱ)求直線軸上的截距的取值范圍;

(Ⅲ)設(shè)直線分別與曲線和射線)交于 兩點(diǎn),求的最小值及此時(shí)的值.

【答案】(Ⅰ); ;(Ⅲ),

【解析】試題分析:(Ⅰ) 對(duì)求導(dǎo)數(shù),由此得切線的方程為: .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,直線軸上的截距為.設(shè)新的函數(shù), 求導(dǎo),求最值即可.

(Ⅲ)過(guò)軸的垂線,與射線交于點(diǎn),得到△是等腰直角三角形, .設(shè) , 求最值即可.

試題解析:

(Ⅰ) 對(duì)求導(dǎo)數(shù),得, 所以切線的斜率為,由此得切線的方程為: , 即 .

由(Ⅰ)得,直線軸上的截距為

設(shè) , .所以 ,令,得

, 的變化情況如下表:

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,所以,

所以直線軸上的截距的取值范圍是

(Ⅲ)過(guò)軸的垂線,與射線交于點(diǎn)

所以△是等腰直角三角形.所以

設(shè) , ,

所以

,則,

所以 上單調(diào)遞增,

所以

從而 上單調(diào)遞增,所以 ,此時(shí),

所以 的最小值為,此時(shí)

點(diǎn)晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)與切線,導(dǎo)數(shù)與最值問(wèn)題. 解答此類問(wèn)題,應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域,第二問(wèn)中利用導(dǎo)數(shù)把直線軸上的截距為.設(shè)新的函數(shù), 求導(dǎo),求最值即可;第三問(wèn)中借助幾何關(guān)系.得到 , 求最值即可.

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的定義域是___________________;

②就奇偶性而言, 是______________________ ;

③當(dāng)時(shí), 的符號(hào)為正還是負(fù)?并證明你的結(jié)論.

(解決了上述三個(gè)問(wèn)題,你要調(diào)整你的選項(xiàng),還來(lái)得及.)

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