Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}是以d（d≠0）為公差的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，即（2+3d）²=（2+d）（2+7d），解得：d=2，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b_n=a_n•2ⁿ=2n•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），整理得：d²-2d=0，
∵d=2，d=0（舍去），
∴a_n=2+2（n-1）=2n，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b_n=a_n•2ⁿ=2n•2ⁿ，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，${{T}_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=2×2+4×{2^2}+6×{2^3}+…+2n×{2^n}$，①
∴$2{{T}_n}=2×{2^2}+4×{2^3}+6×{2^4}+…+2n×{2^{n+1}}$，②
②-①：${{T}_n}=-2×2-2×{2^2}-2×{2^3}-…-2×{2^n}+2n×{2^{n+1}}$，
=-2（2+2²+2³+…+2ⁿ）+n×2ⁿ⁺²，
=$-2×\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}+n×{2^{n+2}}=4+（n-1）{2^{n+2}}$
∴${T_n}=4+（n-1）{2^{n+2}}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，${T_n}=4+（n-1）{2^{n+2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列的性質(zhì)，考查利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．