Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)Р是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q滿(mǎn)足，，且A，B，Q三點(diǎn)不共線．

（1）求橢圓的方程；

（2）求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）Q的軌跡方程為，除去

【解析】

（1）求出橢圓的焦點(diǎn)，利用橢圓的定義，可得橢圓的方程;
（2）設(shè)，由題意，，

利用點(diǎn)Q滿(mǎn)足，結(jié)合點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程.

解：（1）雙曲線的頂點(diǎn)為，
∴橢圓的焦點(diǎn)為，
∵橢圓過(guò)，
，
，
，
∴橢圓的方程為；
（2）設(shè)
由題意，，
，

，
由，可得，
，可得，
兩式相乘，可得，
點(diǎn)P是橢圓上異于點(diǎn)A，B的任意一點(diǎn)，

，
，
時(shí)，；
時(shí)，則或，

或，滿(mǎn)足，
P與A重合時(shí)，，
代入可得或；
同理P與B重合時(shí)，或；
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為，除去.