Question

12．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1．
（1）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；
（2）求展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項(xiàng)；
（3）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用通項(xiàng)公式求出第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)，他們的比為10：1，可得n的值，記錄賦值法x=1可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．
（2）利用通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于$\frac{3}{2}$，求通項(xiàng)中的k，可得答案．
（3）設(shè)展開式中的第k項(xiàng)，第k+1項(xiàng)，第k+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為$C_8^{k-1}•{2^{k-1}}$，$C_8^k•{2^k}$，$C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，若第k+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，求出k的范圍，討論系數(shù)正負(fù)情況，可得系數(shù)最大值．根據(jù)n=8，可得第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大．

解答 解：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為$C_n^4{（-2）^4}$，第三項(xiàng)的系數(shù)為$C_n^2{（-2）^2}$，則有$\frac{{C_n^4{{（-2）}^4}}}{{C_n^2{{（-2）}^2}}}=\frac{10}{1}$，
化簡(jiǎn)得n²-5n-24=0，解得n=8或n=-3（舍去）．
（1）令x=1得各項(xiàng)系數(shù)的和為（1-2）⁸=1．
（2）通項(xiàng)公式T_k+1=$C_8^k{（\sqrt{x}）^{8-k}}•{（-\frac{2}{x^2}）^k}$=$C_8^k{（-2）^k}•$${x}^{\frac{1}{2}（8-k）}•{x}^{-2k}$．
令$\frac{8-k}{2}$-2k=$\frac{3}{2}$，則k=1，
可得：${C}_{8}^{1}•（\sqrt{x}）^{8-1}（-\frac{2}{{x}^{2}}）^{1}$=${-2•C}_{8}^{1}•{x}^{\frac{7}{2}}•{x}^{-2}$=$-2{•C}_{8}^{1}•{x}^{\frac{3}{2}}$．
故展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項(xiàng)為-16x${\;}^{\frac{3}{2}}$．
（3）設(shè)展開式中的第k項(xiàng)，第k+1項(xiàng)，第k+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為
$C_8^{k-1}•{2^{k-1}}$，$C_8^k•{2^k}$，$C_8^{k+1}•{2^{k+1}}$，
若第k+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則$\left\{\begin{array}{l}C_8^{k-1}•{2^{k-1}}≤C_8^k•{2^k}\\ C_8^{k+1}•{2^{k+1}}≤C_8^k•{2^k}\end{array}\right.$解得5≤k≤6．
又T₆的系數(shù)為負(fù)，
∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T₇=1792x^-11．
由n=8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，
此時(shí)T₅=1120x^-6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．