Question

（18甲）如圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長為a，側(cè)棱長為a.

 

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)A、B、A₁、C₁的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角.

Answer 1

（18甲）本小題主要考查空間直角坐標(biāo)系的概念，空間點(diǎn)和向量的坐標(biāo)表示以及向量夾角的計(jì)算方法，考查運(yùn)用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法.

解：

（Ⅰ）如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA₁所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

由已知，得

A（0，0，0），B（0，a，0），A₁（0，0，a），C₁（－a，，a）.

 

（Ⅱ）坐標(biāo)系如上.取A₁B₁的中點(diǎn)M，于是有M（0，，a），連AM，MC₁有

＝（－a，0，0），且＝（0，a，0），＝（0，0，a）

 

由于·＝0， ·＝0，所以MC₁⊥面ABB₁A₁.

 

∴AC₁與AM所成的角就是AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角.    

 

∵＝（－a， ，a），＝（0， ，a），

 

∴·＝0＋＋2a²＝a².                      

 

而||＝＝a.  ||＝＝a.

∴cos＜， ＞＝.

 

所以，與所成的角，即AC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成的角為  30°.