Question

如圖，在三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）取中點(diǎn)為，連接，．

因?yàn)?sub>，所以．

又，，

所以平面，

因?yàn)?sub>平面，所以．… 2分

由已知，，又，

所以，因?yàn)?sub>，

所以平面．

又平面，所以平面平面．          

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?sub>軸的方向， 為單位長(zhǎng)度1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由題設(shè)知，，，，．

則，，．

設(shè)平面的法向量為m，則

m，m，即，，可取m

設(shè)直線與平面所成角為，

故．                                 

（Ⅲ）由題設(shè)知，

可取平面的法向量n₁，             

平面的法向量n₂，              

故n₁，n₂，                           

所以二面角的余弦值為．