Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2）．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁≠a₂，且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）（k為非零常數(shù)，n∈N^*且n≥2），求k的值；
（Ⅱ）若f（x）=kx（k＞1），a₁=2，bn=lnan(n∈N*)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對于給定的正整數(shù)m，如果

S(m+1)n

Smn

的值與n無關(guān)，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），得到a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．由此能求出k．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a_n+1=f（a_n），所以a_n+1=ka_n．故an=2•kn-1．所以{b_n}是首項(xiàng)為ln2，公差為lnk的等差數(shù)列．由此入手能夠求出實(shí)數(shù)k．

解答：（本小題共13分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，
因?yàn)閍_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1），
所以a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，所以a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
因?yàn)?nbsp;a_n+1-a_n=k（a_n-a_n-1），所以k=1．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=kx，（k＞1），a₁=2，且a_n+1=f（a_n），
所以a_n+1=ka_n．
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為k的等比數(shù)列，
所以an=2•kn-1．
所以b_n=lna_n=ln2+（n-1）lnk．
因?yàn)閎_n-b_n-1=lnk，
所以{b_n}是首項(xiàng)為ln2，公差為lnk的等差數(shù)列．
所以 S_n=

(b1+bn)n

2

=n[ln2+

n-1

2

•lnk]．
因?yàn)?span id="agxxedc" class="MathJye">

S(m+1)n

Smn

=

(m+1)n[ln2+ (m+1)n-1 2 lnk]

mnln2+ mn-1 2 lnk]

=

(m+1)[(m+1)nlnk+2ln2-lnk]

m[mnlnk+2ln2-lnk]

，
又因?yàn)?span id="290e67r" class="MathJye">

S(m+1)n

Smn

的值是一個(gè)與n無關(guān)的量，
所以

2ln2-lnk

mnlnk

=

2ln2-lnk

(m+1)nlnk

，
解得k=4．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識．