Question

【題目】設(shè)f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知f（x）在x=1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，

∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，

g′（x）= ﹣2a= ，

當(dāng)a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)a＞0，當(dāng)x＞ 時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，

當(dāng)0＜x＜ ，g′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，

∴當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；

當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0， ），單調(diào)減區(qū)間是（ ，+∞）

（2）

解：∵f（x）在x=1處取得極大值，∴f′（1）=0，

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）單調(diào)遞增，

則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）在x=1處取得極小值，不合題意，

②當(dāng)0＜a＜ 時(shí)， ＞1，由（1）知，f（x）在（0， ）內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)1＜x＜ 時(shí)，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1， ）內(nèi)單調(diào)遞增，即f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．

③當(dāng)a= 時(shí)， =1，f′（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

則當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意．

④當(dāng)a＞ 時(shí)，0＜ ＜1，

當(dāng) ＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值，滿足條件．

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞ ．

【解析】（1）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x），利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求g（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）分別討論a的取值范圍，根據(jù)函數(shù)極值的定義，進(jìn)行驗(yàn)證即可得到結(jié)論．；本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．