Question

已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；
（3）函數(shù)f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，利用定義證明任意x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₂）＞f（x₁）
（2）結(jié)合（1）考查函數(shù)的單調(diào)性．利用單調(diào)性判斷函數(shù)的值域
（3）由，可得在[1，2]上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)g（x）在[1，2]上單調(diào)性，從而求函數(shù)的最大值，而a≥g（x）_max，從而可求a
解答：解：（1）證明：設(shè)x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），則x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．（1分）
∵f（x₂）-f（x₁）═，
∴f（x₂）＞f（x₁）．（3分）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．（4分）
（2）當(dāng)時(shí)，；
由（1）知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．（5分）
∴（7分）
∴f（x）的最小值為，此時(shí)；無最大值．（8分）
（3）依題意，，即在[1，2]上恒成立．
∵函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞減，∴g（x）_max=4（11分）
∴，又a＞0．∴，a的取值范圍是．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值（或值域），函數(shù)的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．