Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x^2}{1-x}$（x≠1），數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m≠1），a_n+1=f（a_n）．
（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，寫(xiě)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？若存在，求出所有符合要求的m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，求證：$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$（a_i+1+a_i）＜$\frac{1}{2m}$．
（其中π是求乘積符號(hào)，如$\underset{\stackrel{5}{π}}{i=1}$i=1×2×3×4×5，$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$a_i=a₁×a₂×…×a_n）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)代入計(jì)算可知當(dāng)n≥2時(shí)a_n=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否成立即可；
（Ⅱ）一方面通過(guò)假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)代入計(jì)算可知m=$\frac{1}{2}$，另一方面可知當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)a_n=$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）通過(guò)變形可知a_n+a_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，利用累乘法可知$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$（a_i+1+a_i）=$\frac{{a}_{n+1}}{m}$，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)y=2x²+x-1=2$（x+\frac{1}{4}）^{2}$-$\frac{9}{8}$，利用單調(diào)性可知當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)y＜0，從而可知當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)0＜a_n+1＜$\frac{1}{2}$，代入計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：依題意，a₁=m=-1，
a₂=f（a₁）=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
a₃=f（a₂）=$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，}&{n=1}\\{\frac{1}{2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）結(jié)論：存在實(shí)數(shù)m=$\frac{1}{2}$，使得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
理由如下：
由已知，a₁=m，a_n+1=f（a_n）=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{1-{a}_{n}}$，
∴a₂=$\frac{{m}^{2}}{1-m}$，a₃=$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{1-{a}_{2}}$，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
則必有${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₃，且a_n≠0、a_n≠1，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁•$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{1-{a}_{2}}$，即1-a₂=a₁，1-$\frac{{m}^{2}}{1-m}$=m，解得：m=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=f（a_n）=$\frac{1}{2}$，
即數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅲ）證明：∵a₁=m，0＜m＜$\frac{1}{2}$，a_n+1=f（a_n）=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{1-{a}_{n}}$，
∴a_n≠0且a_n+1-a_na_n+1=${{a}_{n}}^{2}$，即a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$+a_na_n+1=a_n（a_n+a_n+1），
∴a_n+a_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$（a_i+1+a_i）=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{m}$，
設(shè)y=2x²+x-1=2$（x+\frac{1}{4}）^{2}$-$\frac{9}{8}$，當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)y＜0，即0＜2x²＜1-x，
故當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時(shí)0＜$\frac{{x}^{2}}{1-x}$＜$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)0＜a_n+1＜$\frac{1}{2}$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$（a_i+1+a_i）＜$\frac{1}{2m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查累乘法，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．