Question

2．已知函數f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$，則f（x）的最小值為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$的幾何意義：點（x，0）到（1，1）與（-1，1）的距離之和，過B作x軸的對稱點D（1，-1），當C與O點重合時，丨AC丨+丨BC丨，取最小值，f（x）_min=丨AD丨=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$的幾何意義：點（x，0）到（1，1）與（-1，1）的距離之和，
即f（x）表示丨AC丨+丨BC丨，
過B作x軸的對稱點D（1，-1），
連接AD，交x軸于O點，
∴當C與O點重合時，丨AC丨+丨BC丨，取最小值，
∴f（x）_min=丨AD丨=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+（-1-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
函數f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x+1）^{2}+1}$的最小值為：2$\sqrt{2}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$．
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點評 本題考查點到直線的距離公式的幾何意義，考查數形結合思想，函數的最值，屬于基礎題．