Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再在定義區(qū)間上求零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，可得對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間（2）因?yàn)?/span>，所以原不等式等價(jià)于不等式：，再構(gòu)造一元函數(shù)：令（），即證（），最后利用導(dǎo)數(shù)分別研究函數(shù)，及單調(diào)性，得出結(jié)論

試題解析：（I）依題意，所以

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>

由得，由得，

即函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減,

（II）若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,等價(jià)于直線(xiàn)與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（）

依題意得，證，即證

因，即證

令（），即證（）

令（）則

∴在（1，+）上單調(diào)遞增，

∴=0，即（）①

同理可證：②

綜①②得（），即．