5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a4+a7=20,對(duì)任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn=2n+1-2.
(I) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列a1bn,a2bn-1,…,an-1b2,anb1各項(xiàng)的和Gn

分析 (I)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a4+a7=20,對(duì)任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2,可得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{2{a}_{1}+d=3{a}_{1}+1}\end{array}\right.$,解得a1,d,可得an
(II)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn=2n+1-2.利用遞推關(guān)系:n=1時(shí),b1=T1.n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1.即可得出bn
Gn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=1×2n+3×2n-1+5×2n-2+…+(2n-3)×22+(2n-1)×2,利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:(I)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵a4+a7=20,對(duì)任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2,∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{2{a}_{1}+d=3{a}_{1}+1}\end{array}\right.$,解得a1=1,d=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(II)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn=2n+1-2.
∴n=1時(shí),b1=T1=2.n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,n=1時(shí)也成立.
∴bn=2n
Gn=a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1=(2×1-1)×2n+(2×2-1)×2n-1+(2×3-1)×2n-2+…+(2n-3)×22+(2n-1)×2=1×2n+3×2n-1+5×2n-2+…+(2n-3)×22+(2n-1)×2,
$\frac{1}{2}$Gn=1×2n-1+3×2n-2+…+(2n-3)×2+(2n-1)×1,
∴$\frac{1}{2}{G}_{n}$=2n+2×2n-1+2×2n-2+…+2×2-(2n-1)=2n+2n+2n-1+…+22-(2n-1)=2n+$\frac{4({2}^{n-1}-1)}{2-1}$-(2n-1)=3×2n-2n-3,
可得Gn=3×2n+1-4n-6.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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