【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的左、右焦點(diǎn)分別為,兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖所示,過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線(斜率存在且不為0)交橢圓于兩點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)(異于)在橢圓上運(yùn)動(dòng).
①證明: 為常數(shù);
②當(dāng)時(shí),利用上述結(jié)論求面積的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(1)第(1)問(wèn),由兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形得到,再由點(diǎn)在橢圓上得到方程,最后解方程組即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)第(2)問(wèn)第①問(wèn),先求出,再利用已知條件化簡(jiǎn)得到為常數(shù).第②問(wèn),先求出的三角函數(shù)表達(dá)式,再研究它的取值范圍.
試題解析:
(1)由兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,可知,
所以橢圓的方程為,
又點(diǎn)在橢圓上,
所以,
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)①易知且不與軸垂直,
設(shè), ,
由對(duì)稱性可知,
所以,從而,
因?yàn)辄c(diǎn), 在橢圓上,
所以 ,
因此為常數(shù).
②當(dāng)時(shí),可知,
由 ,
因此直線的方程為,
令,所以,且已知,
因此.
設(shè)(其中為參數(shù)),由點(diǎn)到直線的距離公式可知
(其中),
因此
,
當(dāng)時(shí), 最大為,且此時(shí)點(diǎn)與不重合.
無(wú)最小值.
所以的取值范圍是.
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【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng) 時(shí),求證:.
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【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,垂直于底面,.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax-a),其中a是常數(shù).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)若存在實(shí)數(shù)k,使得關(guān)于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍.
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【題目】研究下列函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性,并作出其大致圖像.
(1);
(2);
(3);
(4).
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程.
(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為,與軸正半軸的交點(diǎn)為,求直線將分成的兩部分的面積比.
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【題目】在正整數(shù)數(shù)列中,由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則,將某些整數(shù)染成紅色,先染1;再染3個(gè)偶數(shù)2,4,6;再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15;再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16,18,20,22,24,26,28;再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29,31,,45;按此規(guī)則一直染下去,得到一紅色子數(shù)列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,,則在這個(gè)紅色子數(shù)列中,由1開(kāi)始的第1000個(gè)數(shù)是_________
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【題目】南康某服裝廠擬在年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元滿足.已知年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為萬(wàn)元,每生產(chǎn)萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入萬(wàn)元.廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費(fèi)用).
(1)將年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù);
(2)該服裝廠年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí),利潤(rùn)最大?
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