(2004•寧波模擬)(理)如圖,在矩形ABCD中,AB=3
3
,BC=3,沿對(duì)角線BD將△BCD折起,使點(diǎn)C移到點(diǎn)C',且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上.
(1)求證:BC'⊥面ADC';
(2)求二面角A-BC'-D的大;
(3)求直線AB和平面BC'D所成的角.
分析:(1)由DA?平面ABD,AB是BC‘在平面ABD內(nèi)的射影,DA⊥AB,知DA⊥BC’,BC‘⊥DC’,由此可證BC‘⊥平面ADC’.
(2)由BC'⊥平面ADC',知∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角,由BC‘⊥平面ABC’,DA⊥BC‘,DA⊥AB,知DA⊥面ABC',DA⊥AC’,由此能求出二面角A-BC'-D的大。
(3)作AM⊥DC'于M,連接BM,由BC‘⊥面ADC’,知面ADC‘⊥面BDC’,由AM⊥DC‘,知AM⊥面BC'D,故∠ABM是AB與平面BC'D所成的角,由此能求出AB與平面BC'D所成的角的大。
解答:(理)(1)∵DA?平面ABD,
AB是BC‘在平面ABD內(nèi)的射影,
DA⊥AB,
∴DA⊥BC’,BC‘⊥DC’,
∴BC‘⊥平面ADC’.…(4分)
(2)∵BC'⊥平面ADC',
BC′⊥C′D
BC′⊥C′A
,
∴∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角…(6分)
∵BC‘⊥平面ABC’,
∴DA⊥BC‘,DA⊥AB,
∴DA⊥面ABC',
∴DA⊥AC’.…(7分)
在Rt△AC'D中,sin∠DC'A=
DA
C′D
=
3
3
3
=
3
3

所以,二面角A-BC'-D的大小為arcsin
3
3
.…(8分)
(3)作AM⊥DC'于M,連接BM,
∵BC‘⊥面ADC’,
∴面ADC‘⊥面BDC’,
∵AM⊥DC‘,
∴AM⊥面BC'D,
∴∠ABM是AB與平面BC'D所成的角,…(10分)
在Rt△DAC'中,AM•DC'=AD•AC',
∴AM=
AD•AC′
DC′
=
3•3
2
3
3
=
6
,…(11分)
在Rt△ABM中sin∠ABM=
AM
AB
=
6
3
3
=
2
3
,
所以,AB與平面BC'D所成的角為arcsin
2
3
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直,求二面角的大小,求直線與平面所成角的大小,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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)
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