Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），bn=an•2n-1，則{b_n}的前n項和T_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由na_n+1=S_n+n結(jié)合通項和前n項和的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為a_n+1-a_n=2（n≥2）再由等差數(shù)列的定義求解a_n代入整理得{b_n}是一個等差數(shù)列與等比數(shù)列對應(yīng)項積的形式，用錯位相減法求其前n項和．

解答： 解：∵na_n+1=S_n+n（n+1），（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，
∴a_n+1-a_n=2（n≥2），
a₁=2，a₂=S₁+2，
∴a₂-a₁=2，
∴{a_n}等差數(shù)列，
∴a_n=2n
∴bn=an•2n-1=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴T_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=2•2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．
故答案為：T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點評：本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與通項公式和求和方法，這里涉及了通項與前n項和之間的關(guān)系及錯位相減法，這是數(shù)列考查中�？汲Ｐ碌膯栴}，要熟練掌握．