Question

16．已知函數(shù)$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$與g（x）=cosx+log₂（x+a）圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，-\sqrt{2}）$
• B． $（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $（-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $（-∞，\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 根據(jù)題意分析可得若函數(shù)$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$與g（x）=cosx+log₂（x+a）圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，則轉(zhuǎn)化為函數(shù)f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g′（x）=log₂（x+a）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象和圖象平移的性質(zhì)，分析得到答案．

解答 解：由題意可得：函數(shù)$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$
與g（x）=cosx+log₂（x+a）圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，
則轉(zhuǎn)化為函數(shù)f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g′（x）=log₂（x+a）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，
f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）只需將y=2^x的圖象向下平移$\frac{1}{2}$，
g₁（x）=log₂（x+a）需要將y=log₂x的圖象向左或右平移|a|，
分析可得，a＜$\sqrt{2}$，
故a的取值范圍是（-∞，$\sqrt{2}$），
故選D．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的極限，是函數(shù)圖象和性質(zhì)較為綜合的應(yīng)用，難度大．