Question

已知p：直線x-2y+3=0與拋物線y²=ax（a＞0）沒(méi)有交點(diǎn)；q：方程

x2

4-a

+

y2

a-1

=1表示橢圓；若p∧q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

（1，

5

2

）∪（

5

2

，3）

．

Answer 1

分析：由p∧q為真命題，知命題p和命題q都是真命題，由此利用韋達(dá)定理和橢圓性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵p∧q為真命題，
∴p：直線x-2y+3=0與拋物線y²=ax（a＞0）沒(méi)有交點(diǎn)是真命題，
q：方程

x2

4-a

+

y2

a-1

=1表示橢圓是真命題．
當(dāng)命題p是真命題時(shí)，
聯(lián)立

x-2y+3=0 y2=ax

，得y²-2ay+3a=0，
△=4a²-12a＜0，解得0＜a＜3．
當(dāng)命題q為真命題時(shí)，

4-a＞0 a-1＞0 4-a≠a-1

，解得1＜a＜

5

2

，或

5

2

＜a＜4．
∴當(dāng)p∧q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，

5

2

）∪（

5

2

，3）．
故答案為：（1，

5

2

）∪（

5

2

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)合命題真假判斷的靈活運(yùn)用．