Question

17．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場(chǎng)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x（x取整數(shù)）元與日銷(xiāo)售量y臺(tái)之間有如表關(guān)系：

x	35	40	45	50
y	56	41	28	11

（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？
（2）求日銷(xiāo)售量y對(duì)銷(xiāo)售單價(jià)x的線性回歸方程；
（3）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P元，根據(jù)（1）寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測(cè)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)．（$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）作散點(diǎn)圖，從而確定y與x具有線性相關(guān)關(guān)系；
（2）求35×56+40×41+45×28+50×11=5410，$\overline{x}$=42.5，$\overline{y}$=34；35²+40²+45²+50²=7350；從而求$\widehat{a}$，$\widehat$；
（3）由題意，P=（x-30）y=（x-30）（-2.96x+159.8）=-2.96x²+248.6x-4794，（31≤x≤53，x∈N）；從而求最值點(diǎn)．

解答 解：（1）作散點(diǎn)圖如右圖，
y與x具有線性相關(guān)關(guān)系；
（2）35×56+40×41+45×28+50×11=5410，$\overline{x}$=42.5，$\overline{y}$=34；
35²+40²+45²+50²=7350；
故$\widehat$=$\frac{5410-4×42.5×34}{7350-4×42．{5}^{2}}$=-2.96；
故$\widehat{a}$=34+2.96×42.5=159.8；
故線性回歸方程為y=-2.96x+159.8；
（3）由y=-2.96x+159.8≥0得，x≤53；
P=（x-30）y
=（x-30）（-2.96x+159.8）
=-.296x²+248.6x-4794，（31≤x≤53，x∈N）；
故當(dāng)x=$\frac{248.6}{2×2.96}$≈42，
故預(yù)測(cè)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為42元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．