如圖所示,拋物線y=4-x2與直線y=3x的兩交點(diǎn)為A、B,點(diǎn)P在拋物線上從A向B運(yùn)動(dòng).

(1)求使△PAB的面積最大的P點(diǎn)的坐標(biāo)(a,b);

(2)證明由拋物線與線段AB圍成的圖形,被直線x=a分為面積相等的兩部分.

(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,)時(shí),△PAB的面積最大(2)證明見解析


解析:

(1)  解方程組,得x1=1,x2=-4.

∴拋物線y=4-x2與直線y=3x的交點(diǎn)為

A(1,3),B(-4,-12),

∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)a∈(-4,1).

點(diǎn)P(a,b)到直線y=3x的距離為d=,

∵P點(diǎn)在拋物線上,∴b=4-a2,

=·(4-3a-a2)′= (-2a-3)=0,

∴a=-,即當(dāng)a=-時(shí),d最大,

這時(shí)b=4-=,

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-,)時(shí),△PAB的面積最大.

(2)  設(shè)上述拋物線與直線所圍成圖形的面積為S,

位于x=-右側(cè)的面積為S1.

S=(4-x2-3x)dx=,

S1=(4-x2-3x)dx=,

∴S=2S1,即直線x=-平分拋物線與線段AB圍成的圖形的面積.

練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,拋物線y=1-x2與x軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開墾的土地,現(xiàn)計(jì)劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業(yè)用地,其中A、B在拋物線上,C、D在x軸上.已知工業(yè)用地每單位面積價(jià)值為3a元(a>0),其它的三個(gè)邊角地塊每單位面積價(jià)值a元,問如何規(guī)劃才能使得整塊土地總價(jià)值最大.

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