【題目】設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的增函數(shù),實(shí)數(shù)a使得f(1﹣ax﹣x2)<f(2﹣a)對(duì)于任意x∈[0,1]都成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,1)
B.[﹣2,0]
C.(﹣2﹣2 ,﹣2+2 )
D.[0,1]
【答案】A
【解析】解:法一:由條件得1﹣ax﹣x2<2﹣a對(duì)于x∈[0,1]恒成立 令g(x)=x2+ax﹣a+1,只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可.
g(x)=x2+ax﹣a+1=(x+ )2﹣ ﹣a+1.
①當(dāng)﹣ <0,即a>0時(shí),g(x)min=g(0)=1﹣a>0,∴a<1,故0<a<1;
②當(dāng)0≤﹣ ≤1,即﹣2≤a≤0時(shí),g(x)min=g(﹣ )=﹣ ﹣a+1>0,∴﹣2﹣2 <a<﹣2+2 ,故﹣2≤a≤0;
③當(dāng)﹣ >1,即a<﹣2時(shí),g(x)min=g(1)=2>0,滿足,故a<﹣2.
綜上a<1.
法二:由1﹣ax﹣x2<2﹣a得(1﹣x)a<x2+1,
∵x∈[0,1],∴1﹣x≥0,
∴①當(dāng)x=1時(shí),0<2恒成立,此時(shí)a∈R;
②當(dāng)x∈[0,1)時(shí),a< 恒成立.
求當(dāng)x∈[0,1)時(shí),函數(shù)y= 的最小值.
令t=1﹣x(t∈(0,1]),則y= = =t+ ﹣2,
而函數(shù)y=t+ ﹣2是(0,1]上的減函數(shù),所以當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即x=0時(shí),ymin=1.
故要使不等式在[0,1)上恒成立,只需a<1,
由①②得a<1.
故選:A
解法一:由條件得1﹣ax﹣x2<2﹣a對(duì)于x∈[0,1]恒成立,令g(x)=x2+ax﹣a+1,只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可,分類討論,求最值即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;
解法二:由1﹣ax﹣x2<2﹣a,得(1﹣x)a<x2+1,對(duì)x討論,再分離參數(shù),求最值,即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性及極值;
(Ⅱ)若不等式在內(nèi)恒成立,求證:.
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【題目】等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6 , (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an , 求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和.
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【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,(n+1)a2n+1+an+1an﹣na =0,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn且Sn=1﹣bn .
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng);
(2)令cn= , ①求{cn}的前n項(xiàng)和Tn;
②是否存在正整數(shù)m滿足m>3,c2 , c3 , cm成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出m;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知點(diǎn)(1,﹣2)和( ,0)在直線l:ax﹣y﹣1=0(a≠0)的兩側(cè),則直線l的傾斜角的取值范圍是( )
A.( , )
B.( , )
C.( , )
D.(0, )∪( ,π)
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【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量 =(c+a,b), =(c﹣a,b﹣c),且 ⊥ .
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.
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【題目】袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球,每種顏色的小球各有4個(gè),分別編號(hào)為1,2,3,4.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球.
(Ⅰ)若兩個(gè)球顏色不同,求不同取法的種數(shù);
(Ⅱ)在(1)的條件下,記兩球編號(hào)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖,OA、OB是兩條公路(近似看成兩條直線), ,在∠AOB內(nèi)有一紀(jì)念塔P(大小忽略不計(jì)),已知P到直線OA、OB的距離分別為PD、PE,PD=6千米,PE=12千米.現(xiàn)經(jīng)過紀(jì)念塔P修建一條直線型小路,與兩條公路OA、OB分別交于點(diǎn)M、N.
(1)求紀(jì)念塔P到兩條公路交點(diǎn)O處的距離;
(2)若紀(jì)念塔P為小路MN的中點(diǎn),求小路MN的長(zhǎng).
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足Sn=n2﹣4n,數(shù)列{bn}中,b1= 對(duì)任意正整數(shù) .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在實(shí)數(shù)μ,使得數(shù)列{3nbn+μ}是等比數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)μ及公比q的值,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)求證: .
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