【題目】已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，交C于點(diǎn)(在第一象限)，且是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)線交C于點(diǎn).

(i)設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：；

(ii)求直線的斜率的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)見解析；(ii)

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，再利用離心率和的關(guān)系求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）(i)利用為線段中點(diǎn)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓對(duì)稱性得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)連線斜率公式表示出和，從而結(jié)論可證；(ii)將直線方程與橢圓方成立聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可用和表示出，利用同理可求得，進(jìn)而利用兩點(diǎn)連線斜率公式寫出所求斜率，結(jié)合基本不等式求出最小值.

（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn)是

且 ，

橢圓的方程

（Ⅱ）(i)設(shè)，那么

是線段的中點(diǎn) ，

，

(ii)根據(jù)題意得：直線的斜率一定存在且

設(shè)直線為，則直線為

聯(lián)立，整理得：

利用韋達(dá)定理可知：

同理可得

當(dāng)且僅當(dāng)即為時(shí)，等號(hào)成立

直線斜率的最小值為

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【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數(shù).

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1，2，2.若（），且向量與夾角的余弦值為.

（1）求的值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A.

B.平面

C.與平面所成角是

D.面積與的面積相等

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【題目】在①離心率，②橢圓過點(diǎn)，③面積的最大值為，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個(gè)問題.

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，________.

（1）求橢圓的方程；

（2）若線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.

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【題目】某工廠生產(chǎn)并銷售某高科技產(chǎn)品，已知每年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是800萬元，生產(chǎn)成本e（單位；萬元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（單位：萬件）的平方成正比；該產(chǎn)品單價(jià)p（單位：元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x滿足（b為常數(shù)），已知當(dāng)該產(chǎn)品的單價(jià)為300元時(shí)，生產(chǎn)成本是1800萬元，當(dāng)單價(jià)為320元時(shí)，生產(chǎn)成本是200萬元，且工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以銷售完．

（1）每年生產(chǎn)該產(chǎn)品多少萬件時(shí)，平均成本最低，最低為多少?

（2）若該工廠希望年利潤(rùn)不低于8200萬元，則每年大約應(yīng)該生產(chǎn)多少萬件該產(chǎn)品?

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【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，過垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知方程的一個(gè)根為．

（1）求復(fù)數(shù)的模；

（2）若復(fù)數(shù)滿足，且為純虛數(shù)，求．

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【題目】已數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且滿足，又.

（1）求的值，猜想的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）設(shè)，求的值；

（3）設(shè)，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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