若函數(shù)的定義域為,且滿足為 奇函數(shù),為偶函數(shù),則下列說法中一定正確的有
(1)的圖像關于直線對稱
(2)的周期為
(3)
(4)在上只有一個零點
【解析】
試題分析:因為,函數(shù)的定義域為,且滿足為 奇函數(shù),為偶函數(shù),所以f(-x+1)=-f(x+1) .......(1);f(x-1)=f(-x-1).......(2)。
由(1) 得f(x+1)=-f(-x+1) ,故;
由(2) 得f(x-1)=f(-x-1),故的圖像關于直線對稱;(1)正確。由此可知,函數(shù)在要嗎沒零點,要嗎不只一個零點;(4)不正確。
由①令-x+1=t得:f(t)=-f(2-t)…………③;②令-x-1=t得:f(t)= f(-2-t)………④;
由③、④得f(2-t)=- f(-2-t)由此令-2-t=m得f(4+m) =-f(m),
所以,f(8+m) =-f(m+4)= f(m),函數(shù)f(x)的周期為8,(2)不正確。
所以,(3)正確。
綜上知,答案為(1)(3)
考點:本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性。
點評:中檔題,本題比較典型,綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性,有一定難度,需要靈活運用“代換的方法”,尋求所需條件、結論。
科目:高中數(shù)學 來源:2016屆北京市海淀區(qū)高一上學期期末統(tǒng)考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)的定義域為,且的圖象連續(xù)不間斷. 若函數(shù)滿足:對于給定的(且),存在,使得,則稱具有性質.
(Ⅰ)已知函數(shù),,判斷是否具有性質,并說明理由;
(Ⅱ)已知函數(shù) 若具有性質,求的最大值;
(Ⅲ)若函數(shù)的定義域為,且的圖象連續(xù)不間斷,又滿足,
求證:對任意且,函數(shù)具有性質.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014屆山東省高一3月月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
若函數(shù)的定義域為,且存在常數(shù),對任意,有,則稱為函數(shù)。給出下列函數(shù):①,②,③,④是定義在上的奇函數(shù),且滿足對一切實數(shù)均有,⑤,其中是函數(shù)的有____________________。
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