【題目】已知橢圓： （）的左右焦點(diǎn)分別為， ，若橢圓上一點(diǎn)滿足，且橢圓過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn) .

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于，求證： ， ， 三點(diǎn)共線.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）由橢圓定義可得，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得，得橢圓方程；

（2）由于的坐標(biāo)為，因此我們可以求出直線的方程，再證明點(diǎn)在此直線上即可．為此設(shè)設(shè)的方程為，點(diǎn)， ， ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元后得一元二次方程，用韋達(dá)定理得，寫出直線方程，并把代入得直線方程，令，求出，利用可得結(jié)果，結(jié)論得證．

試題解析：

（1）依題意， ，故.

將代入中，解得，故橢圓： .

（2）由題知直線的斜率必存在，設(shè)的方程為.

點(diǎn)， ， ，聯(lián)立得.

即， ， ，

由題可得直線方程為，

又∵， .

∴直線方程為，

令，整理得

，即直線過點(diǎn).

又∵橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴三點(diǎn)， ， 在同一直線上.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)滿足．

（Ⅰ）當(dāng)時，解不等式；

（Ⅱ）若關(guān)于x的方程的解集中有且只有一個元素，求a的值；

（Ⅲ）設(shè)，若對，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．

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【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，為圓的圓心.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．

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【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中，垂直平分，垂足為，是面積為的等邊三角形，，，平面，垂足為，為線段的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）求與平面所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．

（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到軸的距離等于.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，證明： 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：.

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