【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2﹣alnx﹣bx(a>0).
(Ⅰ)若a=1,b=3,求函數(shù)y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2,證明:f′()>0.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見(jiàn)解析.
【解析】
(Ⅰ)求f(x)的導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,以及切點(diǎn),由點(diǎn)斜式方程可得切線方程;
(Ⅱ)由函數(shù)零點(diǎn)定義,兩方程相減可得兩個(gè)零點(diǎn)之間的關(guān)系,用變量集中的方法,把兩個(gè)零點(diǎn)集中為一個(gè)變量,求導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即可得證..
解:(Ⅰ)若a=1,b=3,f(x)=x2+2﹣lnx﹣3x,
導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x﹣﹣3,
可得在x=1處切線的斜率為﹣2,
f(1)=0,可得切線方程為y=﹣2(x﹣1),
即為2x+y﹣2=0;
(Ⅱ)證明:若f(x1)=f(x2)=0,且x1≠x2,
可得x12+2﹣alnx1﹣bx1=0,x22+2﹣alnx2﹣bx2=0,
兩式相減可得(x1﹣x2)(x1+x2)﹣a(lnx1﹣lnx2)﹣b(x1﹣x2)=0,
即有x1+x2﹣b=a,
可設(shè)x0=,
由f′(x0)=2x0﹣﹣b=(x1+x2﹣b)﹣
=a﹣
=[ln﹣]
=[ln﹣],
令t=,t>1,可得f′(x0)=[lnt﹣],
設(shè)u(t)=lnt﹣,t>1,
導(dǎo)數(shù)為u′(t)=﹣=>0,
可得u(t)在t>1遞增,且u(1)=0,
可得u(t)>u(1)=0,
即lnt﹣>0,
又a>0,x2﹣x1>0,可得f′(x0)>0,
綜上可得f′()>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,,,,
.
(1)求證:;
(2)當(dāng)幾何體的體積等于時(shí),求四棱錐.的側(cè)面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小值;
(2)設(shè),討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)斜率為的直線與曲線交于、兩點(diǎn),
求證:
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【題目】某車(chē)間在兩天內(nèi),每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品,其中第一天第二天分別生產(chǎn)了1件2件次品,而質(zhì)檢部每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查,若發(fā)現(xiàn)有次品,則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過(guò).
(1)求兩天全部通過(guò)檢查的概率;
(2)若廠內(nèi)對(duì)該車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量采用獎(jiǎng)懲制度,兩天全不通過(guò)檢查罰300元,通過(guò)1天,2天分別獎(jiǎng)300元900元.那么該車(chē)間在這兩天內(nèi)得到獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望是多少元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】炎炎夏季,水蜜桃成為備受大家歡迎的一種水果,某果園的水蜜桃質(zhì)量分布如圖所示.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)以頻率估計(jì)概率,若從該果園中隨機(jī)采摘5個(gè)水蜜桃,記質(zhì)量在300克以上(含300克)的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,該種水蜜桃在過(guò)去50天的銷(xiāo)售量(單位:千克)和價(jià)格(單位:元/千克)均為銷(xiāo)售時(shí)間t(天)的函數(shù),且銷(xiāo)售量近似地滿(mǎn)足f(t)=﹣3t+300(1≤t≤50,t∈N),前30天價(jià)格為g(t)=+20(1≤t≤30,t∈N),后20天價(jià)格為g(t)=30(31≤t≤50,t∈N),求日銷(xiāo)售額S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的空心蔬菜大棚,由8個(gè)鋼結(jié)構(gòu)(地面沒(méi)有)組合搭建而成的,四個(gè)側(cè)面及頂上均被可采光的薄膜覆蓋,已知為柱上一點(diǎn)(不在點(diǎn)、處),(),菜農(nóng)需要在地面正方形內(nèi)畫(huà)出一條曲線將菜地分隔為兩個(gè)不同的區(qū)域來(lái)種植不同品種的蔬菜以加強(qiáng)管理,現(xiàn)已知點(diǎn)為地面正方形內(nèi)的曲線上任意一點(diǎn),設(shè)、分別為在點(diǎn)處觀測(cè)和的仰角.
(1)若,請(qǐng)說(shuō)明曲線是何種曲線,為什么?
(2)若為柱的中點(diǎn),且時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)所在區(qū)域的面積.
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【題目】已知橢圓 的離心率為,過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),直線MB與x軸交于點(diǎn)C,直線MA與y軸交于點(diǎn)D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若給定非零實(shí)數(shù),對(duì)于任意實(shí)數(shù),總存在非零常數(shù),使得恒成立,則稱(chēng)函數(shù)是上的級(jí)類(lèi)周期函數(shù),若函數(shù)是上的2級(jí)2類(lèi)周期函數(shù),且當(dāng)時(shí),,又函數(shù).若,,使成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)P、M、N分別是正方體的棱,AD,AB上非頂點(diǎn)的任意點(diǎn).
①的外心必在的某一邊上;
②的外心必在的內(nèi)部;
③的垂心必是點(diǎn)A在平面PMN上的射影;
④若線段AP、AM、AN的長(zhǎng)分別為a、b、c,則.其中( ).
A. 只有①、④正確.
B. 只有③、④正確.
C. 只有②、③、④正確.
D. 只有②、③正確.
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