Question

已知A、B是拋物線y²=4x上的兩點，O是拋物線的頂點，OA⊥OB．
（I）求證：直線AB過定點M（4，0）；
（II）設(shè)弦AB的中點為P，求點P到直線x-y=0的距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)直線AB方程為x=my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過定點M（4，0）．
（II）P（）到直線x-y=0的距離d=，由此能求出點P到直線x-y=0的距離的最小值．
解答：解：（I）設(shè)直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OA⊥OB，，，
∴k_OA•k_OB===-=-1，b=4．
于是直線AB方程為x=my+4，該直線過定點（4，0）．
（II）P（）到直線x-y=0的距離
d=
=
=
=
=+，
當(dāng)m=時，d取最小值．
點評：本題考查直線過定點的證明，考查點到直線的距離的最小值的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理、點到直線的距離公式的合理運用．