Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.

(1)設(shè)bn＝.證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）Sn＝(n－1)·2n＋1.

【解析】試題分析：（1）由及條件可得，即，可得數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）由（1）得，從而可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可。

試題解析：

(1)證明：∵ an＋1＝2an＋2n，

∴ bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.

∴bn＋1－bn＝1，

又b1＝a1＝1.

∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

(2)解：由(1)知，bn＝n，

∴＝bn＝n.

∴an＝n·2n－1.

∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①

∴2Sn＝1×21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，②

①-②得：

－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n

∴Sn＝(n－1)2n＋1.